Álgebra lineal Ejemplos

$x ([\begin{array}{c} a \\ b \\ d \end{array}]) = [\begin{array}{c} 2 a + d \\ - 4 b \end{array}]$

Paso 1

La transformación define un mapa de $ℝ^{3}$ a $ℝ^{2}$ . Para probar que la transformación es lineal, esta debe conservar la multiplicación escalar, la suma y el vector cero.

x: $ℝ^{3} \to ℝ^{2}$

Paso 2

Primero pruebe que la transformación conserva esta propiedad.

$x (x + y) = x (x) + x (y)$

Paso 3

Establece dos matrices para comprobar que $x$ conserva la propiedad de la suma.

$x ([\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{array}])$

Paso 4

Suma las dos matrices.

$x [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \\ x_{3} + y_{3} \end{array}]$

Paso 5

Aplica la transformación al vector.

$x (x + y) = [\begin{array}{c} 2 (x_{1} + y_{1}) + x_{3} + y_{3} \\ - 4 (x_{2} + y_{2}) \end{array}]$

Paso 6

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 6.1

Reorganiza $2 (x_{1} + y_{1}) + x_{3} + y_{3}$ .

$x (x + y) = [\begin{array}{c} 2 x_{1} + x_{3} + 2 y_{1} + y_{3} \\ - 4 (x_{2} + y_{2}) \end{array}]$

Paso 6.2

Reorganiza $- 4 (x_{2} + y_{2})$ .

$x (x + y) = [\begin{array}{c} 2 x_{1} + x_{3} + 2 y_{1} + y_{3} \\ - 4 x_{2} - 4 y_{2} \end{array}]$

Paso 7

Divide el resultado en dos matrices mediante la agrupación de las variables.

$x (x + y) = [\begin{array}{c} 2 x_{1} + x_{3} \\ - 4 x_{2} \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 y_{1} + y_{3} \\ - 4 y_{2} \end{array}]$

Paso 8

La propiedad de la suma de la transformación se mantiene verdadera.

$x (x + y) = x (x) + x (y)$

Paso 9

Para que una transformación sea lineal, debe mantener la multiplicación escalar.

$x (p x) = T (p [\begin{array}{c} a \\ b \\ d \end{array}])$

Paso 10

Factoriza la $p$ de cada elemento.

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Paso 10.1

Multiplica $p$ por cada elemento en la matriz.

$x (p x) = x ([\begin{array}{c} p a \\ p b \\ p d \end{array}])$

Paso 10.2

Aplica la transformación al vector.

$x (p x) = [\begin{array}{c} 2 (p a + p d) \\ - 4 (p b) \end{array}]$

Paso 10.3

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 10.3.1

Reorganiza $2 (p a + p d)$ .

$x (p x) = [\begin{array}{c} 2 a p + 2 d p \\ - 4 (p b) \end{array}]$

Paso 10.3.2

Reorganiza $- 4 (p b)$ .

$x (p x) = [\begin{array}{c} 2 a p + 2 d p \\ - 4 p b \end{array}]$

Paso 10.4

Factoriza cada elemento de la matriz.

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Paso 10.4.1

Factoriza el elemento $0, 0$ mediante la multiplicación de $2 a p + 2 d p$ .

$x (p x) = [\begin{array}{c} p (2 a + 2 d) \\ - 4 p b \end{array}]$

Paso 10.4.2

Factoriza el elemento $1, 0$ mediante la multiplicación de $- 4 p b$ .

$x (p x) = [\begin{array}{c} p (2 a + 2 d) \\ p (- 4 b) \end{array}]$

Paso 11

La segunda propiedad de las transformaciones lineales se conserva en esta transformación.

$x (p [\begin{array}{c} a \\ b \\ d \end{array}]) = p x (x)$

Paso 12

Para que la transformación sea lineal, se debe conservar el vector cero.

$x (0) = 0$

Paso 13

Aplica la transformación al vector.

$x (0) = [\begin{array}{c} 2 (0) + 0 \\ - 4 \cdot 0 \end{array}]$

Paso 14

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 14.1

Reorganiza $2 (0) + 0$ .

$x (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ - 4 \cdot 0 \end{array}]$

Paso 14.2

Reorganiza $- 4 \cdot 0$ .

$x (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}]$

Paso 15

La transformación conserva el vector cero.

$x (0) = 0$

Paso 16

Como las tres propiedades de las transformaciones lineales no se cumplen, esta no es una transformación lineal.

Transformación lineal